LÍQUIDOS. MECÁNICA DE LOS
FLUIDOS. LEY DE STOKES.
La
mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus
procesos de interacción con los cuerpos sólidos. Es una mezcla de teoría y
experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de los
ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro
del trabajo básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque
analítico.
La
característica fundamental de los fluidos es la denominada fluidez. Un fluido
cambia de forma de manera continua cuando esa sometido a un esfuerzo cortante,
por muy pequeño que sea éste, es decir, un fluido no es capaz de soportar un
esfuerzo cortante sin moverse durante ningún intervalo de tiempo. Unos líquidos
se moverán más lentamente que otros, pero ante un esfuerzo cortante se moverán
siempre. La medida de la facilidad con que se mueve vendrá dada por la
viscosidad que se trata más adelante, relacionada con la acción de fuerzas de
rozamiento. Por el contrario en un sólido se produce un cambio fijo y para cada
valor de La fuerza cortante aplicada. En realidad algunos sólidos pueden
presentar un cierto modo ambos comportamientos, cuando la tensión aplicada está
por debajo de un cierto umbral presenta el comportamiento habitual, mientras
que por encima de un cierta umbral el sólido puede plastificar, produciéndose
una deformación más continua para una fuerza fija, de forma parecida a como
ocurre en un fluido. Esto precisamente lo que ocurre en la zona de influencia.
Si la fuerza persiste, se llega a la rotura de la sólida.
Dentro
de los fluidos, la principal diferencia entre líquidos y gases estriba en Las
distintas comprensibilidades de los mismos.
Gases:
Los gases presentan una gran
comprensibilidad, que influye sobre las características del flujo, ya que tanto
el volumen como la densidad varían con facilidad. En el caso de los gases el
movimiento térmico vence a las fuerzas atractivas y, por tanto tienden a ocupar
todo el volumen del recipiente que los contiene.
Líquidos.-
En el caso de los líquidos, por el contrario, la comprensibilidad es muy débil.
Esto es debido a que las fuerzas atractivas entre las moléculas del líquido
vencen al movimiento térmico de las mismas, colapsando las moléculas y formando
el líquido. Al contrario que en el caso de los gases que tendían a ocupar todo
el volumen que los contienen, los líquidos tienden a formar una superficie
libre.
LEY DE STOKES
Se refiere a la fuerza de
fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds.
Flujo estacionario de
Stokes
En flujos de Stokes
con un número de
Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede
considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a
las de un flujo incompresible y estacionario:
Donde:
·
p es la presión del fluido (en Pa),
Usando algunas
propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como
resultado de una ecuación de
Laplace para la presión y cada uno de los componentes
del vector vorticidad:
and
Fuerzas adicionales
como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden
ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede
aplicar la superposición lineal a las soluciones.
Flujo alrededor de una esfera
Para el caso de una
esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el sistema de coordenadas
cilíndrico ( r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la esfera y está
alineado con la dirección del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicular al
eje z. El origen es el
centro es de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut φ.
En el sistema de
coordenadas cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito por la
función del flujo de Stokes ψ,
la cual está en función de r y z:4 5
con v y w como componentes del flujo de
velocidad en la dirección r y z,
respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el caso simétrico. El
flujo de volumen, a través de un tubo limitada por una superficie de valor
constante ψ, es igual a 2π ψ y es constante.4
Para el caso de un
flujo simétrico por los ejes, el único componente no nulo del vector vorticidad ω es el azimutal φ, el componente ωφ.6 7
El operador de
Laplace, aplicado a la vorticidad ωφ,
aplicado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:7
De las dos ecuaciones
anteriores, y con las apropiadas condiciones de contornos, para un campo de
velocidad uniforme y paralela V en la dirección z y en una esfera de radio R, la solución resulta ser8
![\psi = - \frac{1}{2}\, V\, r^2\, \left[
1
- \frac{3}{2} \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}}
+ \frac{1}{2} \left( \frac{R}{\sqrt{r^2+z^2}} \right)^3\;
\right].](file:///C:/Users/User/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image015.png){kind=small}
La fuerza viscosa por
unidad de área σ, ejercida
por el flujo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente,
tiene el mismo valor en cualquier punto de la esfera:
Con ez el vector unitario en la
dirección z–direction.
Para otras formas que no sean la esférica, σ no es constante a lo largo de la
superficie del cuerpo. Integrando la fuerza viscosa por unidad de área σ sobre la esfera resulta la fuerza de
fricción Fd de acuerdo con la ley de Stokes.
La
mecánica de Fluidos estudia las leyes del movimiento de los fluidos y sus
procesos de interacción con los cuerpos sólidos. Es una mezcla de teoría y
experimento que proviene por un lado de los trabajos iniciales de los
ingenieros hidráulicos, de carácter fundamentalmente empírico, y por el otro
del trabajo básicamente matemáticos, que abordaban el problema desde un enfoque
analítico.
La
característica fundamental de los fluidos es la denominada fluidez. Un fluido
cambia de forma de manera continua cuando esa sometido a un esfuerzo cortante,
por muy pequeño que sea éste, es decir, un fluido no es capaz de soportar un
esfuerzo cortante sin moverse durante ningún intervalo de tiempo. Unos líquidos
se moverán más lentamente que otros, pero ante un esfuerzo cortante se moverán
siempre. La medida de la facilidad con que se mueve vendrá dada por la
viscosidad que se trata más adelante, relacionada con la acción de fuerzas de
rozamiento. Por el contrario en un sólido se produce un cambio fijo y para cada
valor de La fuerza cortante aplicada. En realidad algunos sólidos pueden presentar
un cierto modo ambos comportamientos, cuando la tensión aplicada está por
debajo de un cierto umbral presenta el comportamiento habitual, mientras que
por encima de un cierta umbral el sólido puede plastificar, produciéndose una
deformación más continua para una fuerza fija, de forma parecida a como ocurre
en un fluido. Esto precisamente lo que ocurre en la zona de influencia. Si la
fuerza persiste, se llega a la rotura de la sólida.
Dentro
de los fluidos, la principal diferencia entre líquidos y gases estriba en Las
distintas comprensibilidades de los mismos.
Gases:
Los gases presentan una gran
comprensibilidad, que influye sobre las características del flujo, ya que tanto
el volumen como la densidad varían con facilidad. En el caso de los gases el
movimiento térmico vence a las fuerzas atractivas y, por tanto tienden a ocupar
todo el volumen del recipiente que los contiene.
Líquidos.-
En el caso de los líquidos, por el contrario, la comprensibilidad es muy débil.
Esto es debido a que las fuerzas atractivas entre las moléculas del líquido
vencen al movimiento térmico de las mismas, colapsando las moléculas y formando
el líquido. Al contrario que en el caso de los gases que tendían a ocupar todo
el volumen que los contienen, los líquidos tienden a formar una superficie
libre.
Se refiere a la fuerza de
fricción experimentada por objetos esféricos moviéndose en el seno de un fluido viscoso en un régimen laminar de bajos números de Reynolds.
En flujos de Stokes
con un número de
Reynolds muy bajo, la aceleración convectiva se puede
considerar nula en los términos de la ecuación de Navier-Stokes. En ese caso las ecuaciones del flujo se igualan a
las de un flujo incompresible y estacionario:
Donde:
·
p es la presión del fluido (en Pa),
Usando algunas
propiedades del cálculo de vectores, estas ecuaciones se pueden mostrar como
resultado de una ecuación de
Laplace para la presión y cada uno de los componentes
del vector vorticidad:
Fuerzas adicionales
como la gravedad o la flotabilidad no han sido tomados en cuenta, pero pueden
ser fácilmente añadidos a la ecuación ya que son lineales, así que se puede
aplicar la superposición lineal a las soluciones.
Flujo alrededor de una esfera
Para el caso de una
esfera en un campo de velocidades, es ventajoso usar el sistema de coordenadas
cilíndrico ( r , φ , z ). El eje z pasa por el centro de la esfera y está
alineado con la dirección del flujo, mientras que r es el radio medido perpendicular al
eje z. El origen es el
centro es de la esfera. Debido a que el flujo es asimétrico respecto al eje z, éste es independiente del azimut φ.
En el sistema de coordenadas
cilíndrico, el flujo incompresible puede ser descrito por la función del flujo
de Stokes ψ, la cual está
en función de r y z:
Con v y w como componentes del flujo de
velocidad en la dirección r y z,
respectivamente. La componente de la velocidad acimutal en la dirección φ es cero, en el caso simétrico. El
flujo de volumen, a través de un tubo limitada por una superficie de valor
constante ψ, es igual a 2π ψ y es constante.4
Para el caso de un
flujo simétrico por los ejes, el único componente no nulo del vector vorticidad ω es el azimutal φ, el componente ωφ.
El operador de
Laplace, aplicado a la vorticidad ωφ,
aplicado en el sistema cilíndrico con simetría en los ejes:
De las dos ecuaciones
anteriores, y con las apropiadas condiciones de contornos, para un campo de
velocidad uniforme y paralela V en la dirección z y en una esfera de radio R, la solución resulta ser.
La fuerza viscosa por
unidad de área σ, ejercida
por el flujo en la superficie de la esfera, está en la dirección z sobre toda la esfera. Más exactamente,
tiene el mismo valor en cualquier punto de la esfera:
Con ez el vector unitario en la
dirección z–direction.
Para otras formas que no sean la esférica, σ no es constante a lo largo de la
superficie del cuerpo. Integrando la fuerza viscosa por unidad de área σ sobre la esfera resulta la fuerza de
fricción Fd de acuerdo con la ley de Stokes.
